Loi binomiale – WordPress

I. Épreuve et schéma de Bernoulli

Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n’ayant que deux issues possibles :

Le succès, noté $S$ , de probabilité $p$ .
L’échec, noté $\bar{S}$ , de probabilité $q = 1 - p$ .

Définition :

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p$ , de manière identique et indépendante.

II. La Loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$

Définition :

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ . Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus au cours des $n$ épreuves.

On dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ . On note :

$X \sim \mathcal{B}(n, p).$

L’univers image : La variable aléatoire $X$ peut prendre toutes les valeurs entières de $0$ à $n$ . On note $X(\Omega) = \{0; 1; \dots; n\}$ .

III. Calculs de probabilités

Théorème :

Pour tout entier $k \in \{0; 1; \dots; n\}$ , la probabilité d’obtenir exactement $k$ succès est :

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$\binom{n}{k}$ est le coefficient binomial (lu » $k$ parmi $n$ « ), représentant le nombre de chemins menant à $k$ succès dans l’arbre pondéré.
$p^k$ correspond à la probabilité des $k$ succès.
$(1-p)^{n-k}$ correspond à la probabilité des $n-k$ échecs.

Propriété :

La somme des probabilités est égale à 1 :

$\sum_{k=0}^{n} P(X=k) = 1.$

IV. Représentation graphique et indicateurs

Indicateurs de position et de dispersion :

Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , alors :

Espérance : $E(X) = np$
Variance : $V(X) = np(1-p)$
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Remarque sur la forme : Lorsque $n$ est grand, le diagramme en bâtons de la loi binomiale prend une forme de « cloche » symétrique autour de l’espérance.

V. Exercices d’application (Détails / Accordéon)

Exercice 1 : Calcul direct

Un tireur à l’arc touche sa cible avec une probabilité $p = 0,7$ . Il tire 5 flèches de manière indépendante. Soit $X$ le nombre de flèches touchant la cible.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer $P(X=3)$ .
Calculer $P(X \geq 1)$ .

Exercice 2 : Utilisation de la calculatrice

Soit $X \sim \mathcal{B}(50; 0,2)$ .

Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$ .
Déterminer à l’aide de la calculatrice $P(X \leq 8)$ et $P(X > 12)$ .

Construction des coefficients binomiaux

Le Triangle de Pascal :

Pour calculer les coefficients $\binom{n}{k}$ , on utilise la relation de Pascal :

$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$

Voici les premières lignes du triangle :

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline n \setminus k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 0 & 1 & & & & & \\ 1 & 1 & 1 & & & & \\ 2 & 1 & 2 & 1 & & & \\ 3 & 1 & 3 & 3 & 1 & & \\ 4 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & \\ 5 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\ \hline \end{array}$

Alternativement, on peut utiliser le résultat suivant.

Théorème

Pour tout entier naturel $n$ et tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$ ,

$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.$

Exercices d’entraînement : Loi Binomiale

Exercice 1 : Application directe et calculs de probabilités

On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(10 \ ; \ 0,4)$ .

Calculer l’espérance $E(X)$ et l’écart-type $\sigma(X)$ de cette loi.
Calculer, à $10^{-4}$ près, la probabilité $P(X = 4)$ .
Déterminer la probabilité d’obtenir au moins un succès, $P(X \geq 1)$ .
À l’aide de la calculatrice, déterminer $P(X \leq 6)$ .

Solution Ex 1 :

$E(X) = 10 \times 0,4 = 4$ ; $\sigma(X) = \sqrt{10 \times 0,4 \times 0,6} = \sqrt{2,4} \approx 1,549$ .
$P(X=4) = \binom{10}{4} \times 0,4^4 \times 0,6^6 \approx 0,2508$ .
$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0,6^{10} \approx 0,9940$ .

Exercice 2 : Problème contextualisé (Contrôle qualité)

Une entreprise produit des composants électroniques. On admet que chaque composant a une probabilité $p = 0,02$ d’être défectueux, indépendamment des autres. On prélève au hasard un lot de 100 composants. Soit $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de composants défectueux dans le lot.

Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer la probabilité qu’il n’y ait aucun composant défectueux dans le lot sous forme exacte, puis sous forme décimale approchée à $10^{-4}$ près.
Calculer la probabilité qu’il y ait au plus 2 composants défectueux sous forme décimale approchée à $10^{-4}$ près.
Quel est le nombre moyen de composants défectueux attendus dans un tel lot ?

Solution Ex 2

On réalise 100 tirages indépendants et identiques. Chaque tirage est une épreuve de Bernouilli, avec deux issues : le composant est défectueux (succès, probabilité $p=0,02$ ) ou non (échec, probabilité $q=0,98$ ). $Y$ est alors la variable aléatoire comptant le nombre de succès et suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,02$ :
$Y\sim\mathcal{B}(100;0,02).$
$P(Y=0)=0,98^{100}\approx0,1326$ .
$P(Y\leqslant2)\approx0,6767$ .
$E(Y)=100\times0.02=2$ .
Il faut donc s’attendre à une moyenne de deux composants défectueux par lot.

Exercice 3 : Seuil et répétition

On lance $n$ fois un dé équilibré à 6 faces. On appelle « succès » l’obtention d’un 6.

Exprimer en fonction de $n$ la probabilité $p_n$ d’obtenir au moins une fois le chiffre 6.
Déterminer le nombre minimal de lancements $n$ nécessaires pour que $p_n \geq 0,95$ .

Solution Ex 3

$p_n = 1 - (\frac{5}{6})^n$ .
$p_n \geqslant 0,95 \iff1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n \geqslant 0,95 \iff \left(\frac{5}{6}\right)^n \leqslant 0,05$
$\iff n \ln\left(\frac{5}{6}\right) \leqslant \ln(0,05)\iff n \geqslant \frac{\ln(0,05)}{\ln\left(5/6\right)} \approx 16,43$ .
Il faut donc au moins 17 lancers.

Point méthode : de l’énoncé au modèle

Pour justifier qu’une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.

Étape 1 : Identifier l’épreuve de Bernoulli et le succès (donner sa probabilité $p$ ).
Étape 2 : Préciser que l’on répète $n$ fois cette épreuve de manière identique et indépendante.
Étape 3 : Définir la variable aléatoire $X$ comme le nombre de succès.
Étape 4 : Conclure que $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ .