{"id":29,"date":"2026-01-24T00:47:01","date_gmt":"2026-01-23T23:47:01","guid":{"rendered":"https:\/\/coetlogon.fr\/?page_id=29"},"modified":"2026-01-24T18:14:40","modified_gmt":"2026-01-24T17:14:40","slug":"geo3d","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/coetlogon.fr\/?page_id=29","title":{"rendered":"G\u00e9om\u00e9trie dans l’espace"},"content":{"rendered":"\n

<\/p>\n\n\n\n

I. Colin\u00e9arit\u00e9<\/h2>\n\n\n\n

Dans un rep\u00e8re \"(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\" de l’espace, un vecteur \"\overrightarrow{u}\" est d\u00e9fini par ses trois coordonn\u00e9es \"x\", \"y\" et \"z\" (abscisse<\/em>, ordonn\u00e9e<\/em> et cote<\/em>). On utilise souvent la notation en colonne pour simplifier les calculs de proportionnalit\u00e9 :

  <\/span>   <\/span>\"\[\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

De m\u00eame que par deux points distincts \"A\" et \"B\" passe une unique droite, par trois points non align\u00e9s \"A\", \"B\", \"C\" passe un unique plan, que l’on peut noter \"(ABC)\".<\/p>\n\n\n\n

Colin\u00e9arit\u00e9<\/h3>\n\n\n\n
\n

Deux vecteurs \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{v}\" (avec \"\overrightarrow{u}\neq\overrightarrow{o}\") sont dits colin\u00e9aires<\/em> s’il existe un r\u00e9el \"\lambda\" tel que \"\overrightarrow{v}=\lambda\overrightarrow{u}\".<\/p>\n\n\n\n

Si deux vecteurs \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{v}\" sont non nuls et non colin\u00e9aires, on dit qu’ils forment une famille libre<\/em> , not\u00e9e \"(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\".<\/p>\n\n\n\n

Deux vecteurs \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{v}\" ne formant pas une famille libre forment une famille li\u00e9e<\/em> \"(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\".<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

Remarques :<\/h3>\n\n\n\n

Dans ce qui suit, \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{v}\" sont deux vecteurs et \"A\", \"B\", \"C\", \"D\", quatre points.<\/p>\n\n\n\n

    \n
  • Le vecteur nul \"\overrightarrow{o}\" est colin\u00e9aire \u00e0 tout autre vecteur.<\/li>\n\n\n\n
  • Lorsque \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{v}\" sont deux vecteurs non nuls, la colin\u00e9arit\u00e9 de \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{v}\" \u00e9quivaut \u00e0 la proportionnalit\u00e9 de leurs coordonn\u00e9es.<\/li>\n\n\n\n
  • Pour d\u00e9montrer que deux vecteurs non nuls \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{v}\" sont colin\u00e9aires, il suffit d’identifier le r\u00e9el \"\lambda\" tel que de \"\overrightarrow{v}=\lambda\overrightarrow{u}\". \u00c9tablir que deux vecteurs ne sont pas colin\u00e9aires est un peu plus d\u00e9licat : pour justifier qu’il n’existe pas de tel r\u00e9el \"\lambda\", on peut utiliser des d\u00e9terminants.<\/li>\n\n\n\n
  • \"A\", \"B\", \"C\" sont align\u00e9s si et seulement si les vecteurs \"\overrightarrow{AB}\" et \"\overrightarrow{AC}\" sont colin\u00e9aires.<\/li>\n\n\n\n
  • \"A\", \"B\", \"C\" sont align\u00e9s si et seulement si la famille \"(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\" est li\u00e9e.<\/li>\n\n\n\n
  • \"A\", \"B\", \"C\" forment un plan si et seulement si la famille \"(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\" est libre.<\/li>\n\n\n\n
  • Deux droites \"(AB)\" et \"(CD)\" sont parall\u00e8les si et seulement si les vecteurs \"\overrightarrow{AB}\" et \"\overrightarrow{CD}\" sont colin\u00e9aires.<\/li>\n\n\n\n
  • Un quadrilat\u00e8re \"ABCD\" est un parall\u00e9logramme si et seulement si \"\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\".<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

    Question<\/h3>\n\n\n\n

    Que dire d’un quadrilat\u00e8re \"ABCD\" tel que \"\overrightarrow{AB}\" et \"\overrightarrow{CD}\" soient colin\u00e9aires ?<\/p>\n\n\n\n

    Repr\u00e9sentation param\u00e9trique d’une droite<\/h2>\n\n\n\n

    Vecteur directeur d’une droite<\/h3>\n\n\n\n
    \n

    Un vecteur non nul \"\overrightarrow{u}\" dirige<\/em> une droite \"\mathcal{D}\" lorsqu’il existe deux points \"A\" et \"B\" de \"\mathcal{D}\" tels que \"\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}\".
    On dit alors que \"\overrightarrow{u}\" est un vecteur directeur<\/em> de \"\mathcal{D}\".<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

    Remarques<\/h3>\n\n\n\n
      \n
    • Si \"\mathcal{D}=(AB)\", alors \"\overrigharrow{AB}\" est un vecteur directeur de \"\mathcal{D}\".<\/li>\n\n\n\n
    • Si \"\overrigharrow{u}\" est un vecteur directeur de \"\mathcal{D}\", alors tout vecteur \"\overrightarrow{v}\" non nul et colin\u00e9aire \u00e0 \"\overrightarrow{u}\" est \u00e9galement un vecteur directeur de \"\mathcal{D}\".<\/li>\n\n\n\n
    • R\u00e9ciproquement, deux vecteurs directeurs d’une m\u00eame droite sont toujours colin\u00e9aires.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

      Rep\u00e8re d’une droite<\/h3>\n\n\n\n
      \n

      Soit \"\mathcal{D}\" une droite. Lorsque \"A\" est un point de \"\mathcal{D}\" et \"\overrightarrow{u}\" en est un vecteur directeur, on dit que le couple \"(A,\overrightarrow{u})\" est un rep\u00e8re de la droite \"\mathcal{D}\".
      \"A\" est alors l’origine de ce rep\u00e8re.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

      Repr\u00e9sentation param\u00e9trique d’une droite<\/p>\n\n\n\n

      La droite \"\mathcal{D}\" passant par \"A\" et dirig\u00e9e par \"\overrightarrow{u}\" est l’ensemble des points \"M\" tels que \"\overrightarrow{AM}\" soit colin\u00e9aire \u00e0 \"\overrightarrow{u}\".<\/p>\n\n\n\n

      En g\u00e9om\u00e9trie rep\u00e9r\u00e9e, c’est-\u00e0-dire avec des coordonn\u00e9es, la droite \"\mathcal{D}\" passant par \"A(x_A;y_A;z_A)\" et dirig\u00e9e par \"\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\" est l’ensemble des points \"M(x;y;z)\" de l’espace pour lesquels il existe un r\u00e9el \"\lambda\" tel que

        <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} x = x_A + \lambda a \\ y = y_A + \lambda b \\ z = z_A + \lambda c \end{cases}.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      On parle d’une repr\u00e9sentation param\u00e9trique<\/em> de \"\mathcal{D}\" ; c’est la<\/em> repr\u00e9sentation param\u00e9trique de \"\mathcal{D}\" associ\u00e9e au rep\u00e8re \"(A,\overrightarrow{u})\".<\/p>\n\n\n\n

      On note

        <\/span>   <\/span>\"\[\mathcal{D}:\begin{cases} x = x_A + \lambda a \\ y = y_A + \lambda b \\ z = z_A + \lambda c \end{cases} (\lambda\in\mathbb{R})\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      Coplanarit\u00e9<\/h2>\n\n\n\n
      \n

      Quatre points \"A\", \"B\", \"C\", \"D\" sont dits coplanaires<\/em> s’il existe un plan contenant ces quatre points.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

      Remarque<\/h3>\n\n\n\n

      Lorsque \"A\", \"B\", \"C\" ne sont pas align\u00e9s, ceci \u00e9quivaut \u00e0 dire que \"D\in(ABC)\".<\/p>\n\n\n\n

      \n

      Lorsque trois points \"A\", \"B\", \"C\" ne sont pas align\u00e9s, on dit que la famille libre \"(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\" est une base<\/em> du plan \"(ABC)\" et que le triplet \"(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\" en est un rep\u00e8re<\/em>.
      On dit aussi, enfin, que les vecteurs
      \"\overrightarrow{AB}\" et \"\overrightarrow{AC}\" dirigent le plan.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

      Remarque<\/h3>\n\n\n\n

      Autrement dit, un point \"A\" et deux vecteurs \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{v}\" non colin\u00e9aires \u00e9tant donn\u00e9s, on peut parler du plan passant par \"A\" et dirig\u00e9 par \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{u}\".<\/p>\n\n\n\n

      Th\u00e9or\u00e8me<\/h3>\n\n\n\n
      \n

      Soient \"A\", \"B\", \"C\" trois points non align\u00e9s. Pour tout point \"M\" du plan \"(ABC)\", il existe un unique couple \"(\lambda;\mu)\" de r\u00e9els tel que \"\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}\".<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

      Remarque<\/h3>\n\n\n\n

      Les r\u00e9els \"\lambda\" et \"\mu\" s’interpr\u00e8tent comme les coordonn\u00e9es du point \"M\" dans le rep\u00e8re \"(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\" du plan \"(ABC)\".<\/p>\n\n\n\n

      Preuve du th\u00e9or\u00e8me<\/h3>\n\n\n\n

      Existence<\/h4>\n\n\n\n

      Soit \"M\" un point du plan \"(ABC)\" et soit \"\mathcal{D}\" la droite parall\u00e8le \u00e0 \"(AC)\" passant par \"M\". Par hypoth\u00e8se, les vecteurs \"\overrightarrow{AB}\" et \"\overrightarrow{AC}\" ne sont pas colin\u00e9aires, donc les droites \"(AB)\" et \"(AC)\" sont s\u00e9cantes, donc les droites \"(AB)\" et \"\mathcal{D}\" sont \u00e9galement s\u00e9cantes.
      Notons \"H\" le point d’intersection de \"\mathcal{D}\" et \"(AC)\".
      La relation de Chasles donne \"\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HM}\".
      Or, puisque \"H\in(AC)\", \"\overrightarrow{AH}\" est colin\u00e9aire \u00e0 \"\overrightarrow{AC}\" : il existe un r\u00e9el \"\mu\" tel que \"\overrightarrow{AH}=\mu\overrightarrow{AC}\".
      De m\u00eame, puisque \"H\" et \"M\" sont deux point d’une parall\u00e8le \u00e0 \"(AB)\", \"\overrightarrow{HM}\" est colin\u00e9aire \u00e0 \"\overrightarrow{AB}\" et donc il existe un r\u00e9el \"\lambda\" tel que \"\overrightarrow{HM}=\lambda\overrightarrow{AB}\".
      On obtient bien :

        <\/span>   <\/span>\"\[\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      Unicit\u00e9<\/h4>\n\n\n\n

      Supposons disposer de deux d\u00e9compositions de \"\overrightarrow{AM}\" comme combinaison lin\u00e9aire de \"\overrightarrow{AB}\" et \"\overrightarrow{AC}\", disons \"\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}\" et \"\overrightarrow{AM}=\lambda'\overrightarrow{AB}+\mu'\overrightarrow{AC}\", o\u00f9 \"\lambda\", \"\lambda'\", \"\mu\", \\mu’\"sont quatre réels.On a alors\"\\lambda\\overrightarrow{AB}+\\mu\\overrightarrow{AC}=\\lambda’\\overrightarrow{AB}+\\mu’\\overrightarrow{AC}\", donc\"\\lambda\\overrightarrow{AB}-\\lambda’\\overrightarrow{AB}=\\mu’\\overrightarrow{AC}-\\mu\\overrightarrow{AC}\", donc\"(\\lambda-\\lambda’)\\overrightarrow{AB}=(\\mu’-\\mu)\\overrightarrow{AC}\".Or, par hypothèse,\"\\overrightarrow{AB}\"et\"\\overrightarrow{AC}\"sont deux vecteurs non nuls et non colinéaires. Ils forment donc une famille libre, donc\"\\lambda-\\lambda’=0\"et\"\\mu’-\\mu=0\", donc\"\\lambda=\\lambda’\"et\"\\mu=\\mu’$.
      Ceci d\u00e9montre l’unicit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

      <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      I. Colin\u00e9arit\u00e9 Dans un rep\u00e8re de l’espace, un vecteur est d\u00e9fini par ses trois coordonn\u00e9es , et (abscisse, ordonn\u00e9e et cote). On utilise souvent la notation en colonne pour simplifier les calculs de proportionnalit\u00e9 :     De m\u00eame que par deux points distincts et passe une unique droite, par trois points non align\u00e9s , […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":19,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-29","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/coetlogon.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/29","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/coetlogon.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/coetlogon.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/coetlogon.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/coetlogon.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=29"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/coetlogon.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/29\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":49,"href":"https:\/\/coetlogon.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/29\/revisions\/49"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/coetlogon.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/19"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/coetlogon.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=29"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}