Géométrie dans l’espace

I. Colinéarité

Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l’espace, un vecteur $\overrightarrow{u}$ est défini par ses trois coordonnées $x$ , $y$ et $z$ (abscisse, ordonnée et cote). On utilise souvent la notation en colonne pour simplifier les calculs de proportionnalité :

$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

De même que par deux points distincts $A$ et $B$ passe une unique droite, par trois points non alignés $A$ , $B$ , $C$ passe un unique plan, que l’on peut noter $(ABC)$ .

Colinéarité

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ (avec $\overrightarrow{u}\neq\overrightarrow{o}$ ) sont dits colinéaires s’il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{v}=\lambda\overrightarrow{u}$ .

Si deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont non nuls et non colinéaires, on dit qu’ils forment une famille libre , notée $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ .

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne formant pas une famille libre forment une famille liée $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ .

Remarques :

Dans ce qui suit, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs et $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , quatre points.

Le vecteur nul $\overrightarrow{o}$ est colinéaire à tout autre vecteur.
Lorsque $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls, la colinéarité de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ équivaut à la proportionnalité de leurs coordonnées.
Pour démontrer que deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires, il suffit d’identifier le réel $\lambda$ tel que de $\overrightarrow{v}=\lambda\overrightarrow{u}$ . Établir que deux vecteurs ne sont pas colinéaires est un peu plus délicat : pour justifier qu’il n’existe pas de tel réel $\lambda$ , on peut utiliser des déterminants.
$A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
$A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si la famille $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est liée.
$A$ , $B$ , $C$ forment un plan si et seulement si la famille $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est libre.
Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ .

Question

Que dire d’un quadrilatère $ABCD$ tel que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ soient colinéaires ?

Représentation paramétrique d’une droite

Vecteur directeur d’une droite

Un vecteur non nul $\overrightarrow{u}$ dirige une droite $\mathcal{D}$ lorsqu’il existe deux points $A$ et $B$ de $\mathcal{D}$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ .
On dit alors que $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ .

Remarques

Si $\mathcal{D}=(AB)$ , alors $\overrigharrow{AB}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ .
Si $\overrigharrow{u}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ , alors tout vecteur $\overrightarrow{v}$ non nul et colinéaire à $\overrightarrow{u}$ est également un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ .
Réciproquement, deux vecteurs directeurs d’une même droite sont toujours colinéaires.

Repère d’une droite

Soit $\mathcal{D}$ une droite. Lorsque $A$ est un point de $\mathcal{D}$ et $\overrightarrow{u}$ en est un vecteur directeur, on dit que le couple $(A,\overrightarrow{u})$ est un repère de la droite $\mathcal{D}$ .
$A$ est alors l’origine de ce repère.

Représentation paramétrique d’une droite

La droite $\mathcal{D}$ passant par $A$ et dirigée par $\overrightarrow{u}$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ soit colinéaire à $\overrightarrow{u}$ .

En géométrie repérée, c’est-à-dire avec des coordonnées, la droite $\mathcal{D}$ passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et dirigée par $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ est l’ensemble des points $M(x;y;z)$ de l’espace pour lesquels il existe un réel $\lambda$ tel que

$\begin{cases} x = x_A + \lambda a \\ y = y_A + \lambda b \\ z = z_A + \lambda c \end{cases}.$

On parle d’une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ ; c’est la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ associée au repère $(A,\overrightarrow{u})$ .

On note

$\mathcal{D}:\begin{cases} x = x_A + \lambda a \\ y = y_A + \lambda b \\ z = z_A + \lambda c \end{cases} (\lambda\in\mathbb{R})$

Coplanarité

Quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont dits coplanaires s’il existe un plan contenant ces quatre points.

Remarque

Lorsque $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés, ceci équivaut à dire que $D\in(ABC)$ .

Lorsque trois points $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés, on dit que la famille libre $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est une base du plan $(ABC)$ et que le triplet $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ en est un repère.
On dit aussi, enfin, que les vecteurs
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dirigent le plan.

Remarque

Autrement dit, un point $A$ et deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non colinéaires étant donnés, on peut parler du plan passant par $A$ et dirigé par $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ .

Théorème

Soient $A$ , $B$ , $C$ trois points non alignés. Pour tout point $M$ du plan $(ABC)$ , il existe un unique couple $(\lambda;\mu)$ de réels tel que $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$ .

Remarque

Les réels $\lambda$ et $\mu$ s’interprètent comme les coordonnées du point $M$ dans le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ du plan $(ABC)$ .

Preuve du théorème

Existence

Soit $M$ un point du plan $(ABC)$ et soit $\mathcal{D}$ la droite parallèle à $(AC)$ passant par $M$ . Par hypothèse, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, donc les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes, donc les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ sont également sécantes.
Notons $H$ le point d’intersection de $\mathcal{D}$ et $(AC)$ .
La relation de Chasles donne $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HM}$ .
Or, puisque $H\in(AC)$ , $\overrightarrow{AH}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AC}$ : il existe un réel $\mu$ tel que $\overrightarrow{AH}=\mu\overrightarrow{AC}$ .
De même, puisque $H$ et $M$ sont deux point d’une parallèle à $(AB)$ , $\overrightarrow{HM}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ et donc il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{HM}=\lambda\overrightarrow{AB}$ .
On obtient bien :

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}.$

Unicité

Supposons disposer de deux décompositions de $\overrightarrow{AM}$ comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , disons $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AM}=\lambda'\overrightarrow{AB}+\mu'\overrightarrow{AC}$ , où $\lambda$ , $\lambda'$ , $\mu$ , \mu’ $sont quatre réels.On a alors$ \lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}=\lambda’\overrightarrow{AB}+\mu’\overrightarrow{AC} $, donc$ \lambda\overrightarrow{AB}-\lambda’\overrightarrow{AB}=\mu’\overrightarrow{AC}-\mu\overrightarrow{AC} $, donc$ (\lambda-\lambda’)\overrightarrow{AB}=(\mu’-\mu)\overrightarrow{AC} $.Or, par hypothèse,$ \overrightarrow{AB} $et$ \overrightarrow{AC} $sont deux vecteurs non nuls et non colinéaires. Ils forment donc une famille libre, donc$ \lambda-\lambda’=0 $et$ \mu’-\mu=0 $, donc$ \lambda=\lambda’ $et$ \mu=\mu’$.
Ceci démontre l’unicité.